Wenn Euer Balkon Südlage hat und daher von starker Sonneneinstrahlung betroffen ist, kann Euch der Vermieter nach meiner Kenntnis die Montage einer Markise nicht verbieten. Hier lohnt es sich, die tatsächliche Sachlage zu recherchieren, da es regionale Unterschiede geben kann.
Auszug aus einer rechtlichen Einschätzung: "Das Amtsgericht München (Urteil v. 7.6.2013 – Az: 411 C 4836/13) entschied, es stufe eine Markise als bauliche Maßnahme ein, zu der grundsätzlich die Genehmigung des Vermieters notwendig sei. Der Vermieter müsse nach Ansicht des AG München jedoch seine Genehmigung für die Markise erteilen, da die Beeinträchtigung des Eigentumsrechts des Vermieters gering sei, andererseits der Mieter aber in seinem üblichen Wohngebrauch zu stark eingeschränkt sei. Zu beachten ist aber, dass der Vermieter immer das Recht hat, Vorgaben darüber zu machen, wie die Markise aussehen muss und dass im entschiedenen Fall, die Häuserfront mit den Balkonen nicht einsehbar war."
Hierzu würde ich noch einmal das Gespräch mit dem Vermieter suchen und ihn auf diese Rechtslage hinweisen.
Alternativ könnte man einen "Zeltling" aufstellen, hier wird es allerdings Probleme mit der Windlast geben. Das Teil muss also bei starkem Wind jeweils wieder abgebaut werden - nicht gerade praktisch. Andererseits sind solche Pavillons mit Scherenmechanik schnell aufgestellt - das könnte also dennoch eine Alternative sein.